MATEMÁTICA ELEMENTAL
 
 
 
 
 
 
ÍNDICE DEL TEMA
 “Curiosidades matemáticas”

Introducción

Aspectos divulgativos

Formulas mágicas

Numero π

Papiro Ahmes

Cuadratura del círculo

Unidad imaginaria

Número “e”

Otras curiosidades matemáticas

Razones

Consideraciones finales


 

PORTAL

ÍNDICE

 

email: marodgar@telefonica.net


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

MATEMÁTICA ELEMENTAL
 

MATEMÁTICA ELEMENTAL 
 
 
 

MI PORTAL

Curiosidades matemáticas 

Esta página pretende explicar el por qué del contenido de la cabecera del portal de esta Web

 

portal.jpg

 

Para el lector versado en matemáticas no le descubro nada nuevo. Para el no versado y lector curioso quizá le descubra algunas cosas desconocidas. A todos es posible  le sea de alguna utilidad.

 

Introducción:

Alguna que otra vez, además de en  esta Web, he escrito artículos en www.diariolatorre.es  deambulando, con ánimo divulgador, por ese mundo apasionante, temido e ignorado,  que son las matemáticas. Mundo reservado, al parecer, solo, a grupos minoritarios y privilegiados. 

En muchas ocasiones y en esta también, he tenido que manifestar, manifiesto que: “No soy matemático, sino filo-matemático”. Amante de las matemáticas.  

Esa afición, esa pasión diría yo, ese amor a las matemáticas me llevó a enseñarlas durante más de cincuenta años y sigo. 

Desde esa posición, me permito un escorzo de algunos conceptos que he sintetizado nominándolo: “Curiosidades matemáticas”. 

He enseñado durante más de cincuenta años y he intentado penetrar en la entraña de la Matemática elemental que no quiere decir que sea fácil, sino que contiene los elementos de la alta matemática, a la que yo no he llegado, conformándome con ese nivel básico al que he aportado mi propia concepción, cual es, llegar a ella a través de lo que dicen los diccionarios.

Aunque no lo parezca, los diccionarios contienen más información matemática de la que se cree, lo que ocurre es que, paradójicamente, a veces es errada  y en otras muchas le falta precisión, algo incompatible con la matemática y con la ciencia. Según Ortega, “Ciencia es hablar preciso” por lo que debía ser inaceptable para los redactores de los diccionarios la falta de precisión.

La matemática no deja indiferente a nadie. Unos, los menos, para ensalzarla y otros, los más, para apartarse de ella como una apestada. El manifiesto de la hemiplejia cultural de tantos cuando, ante una cuestión que precisa el uso de la matemática,  escudan su ignorancia con aquello de “yo soy de letras”, es deprimente. Aunque resalto que, todos, sin distinción, cualquiera que sea su posición ante ella, confiesan su respeto y su necesidad.

En alguna ocasión he dicho que “si un cataclismo arrasara la vida de la tierra,  la nueva forma de vida que surgiera tendría que inventar, para su desarrollo y evolución: Las Matemáticas”.

Aspectos divulgativos

No me resisto y aprovecho la magnífica ocasión de estas páginas para divulgarlas. Con ellas espero poder tocar la fibra sensible que cada lector tiene dentro para que, al final, les haya picado el gusanillo de la curiosidad y se sientan atrapados entre sus redes.

Para que no tengan que ir muy lejos, en esta Web encontrarán abundante material para discurrir por temas diversos que cada cual puede elegir a su arbitrio. 

Verán. Las posibilidades de Internet son incalculables y de ellas me he valido para colgar mi Web con el siguiente título: “MATEMÁTICA ELEMENTAL”. Quienquiera puede descubrirla entrando en Google escribiendo ese titulo: “matemática elemental”. La tercera que aparece en el listado es la introducción de ésta: Ver.

Como he dicho antes, “elemental” no quiere decir sencillo sino que expresa lo  fundamental y principal de esta ciencia que voy construyendo poco a poco.

Observen la imagen, bajo la cual se reseña lo siguiente: “Se dice que Platón había escrito sobre las puertas de su escuela, la Academia ateniense, el lema: “No entre aquí nadie que ignore la geometría”. Platón era “hacedor de matemáticos” y podía limitar la entrada a quien quisiera. Yo en cambio invito a pasar con esta otra expresión: “Bienvenido: Pasa aunque no sepas matemáticas”, invitación que hago extensiva a los lectores.

Formulas mágicas:

Como han podido observar, en el frontispicio de la Web, tengo escrito: e2πi = 1. Ver imagen.

Ésta es una de las llamadas fórmulas mágicas de Euler. Euler fue unos de los más grandes matemáticos de la historia. Pues bien ¿Donde está la magia de esa expresión? En esa sencilla fórmula se reúnen los números más significativos de la matemática.

Lo curioso de esto, de ahí lo de la magia de la fórmula, es que, cada uno de sus componentes se han ido definiendo en distintos momentos históricos y luego, como por arte de birlibirloque, como si del conejo que se saca de la chistera un prestidigitador, se unen en esa sencilla fórmula: e2πi = 1

Intentemos desentrañarla:

El 1, la unidad natural, el uno de las cosas como nos enseñaron con las primeras letras. El 2, primer número par y a la vez primo. El único par primo formado por la agregación de dos unidades. π, número irracional donde los haya, trascendente, también lo llaman. Las otras dos son “i” y “e”.

Del 1 y el 2 ya hemos dicho lo sustantivo.

Numero π

Vayamos al π.

Su definición es muy sencilla se trata de expresar, numéricamente, el cociente entre el perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. Esto es: cualquiera que sea la circunferencia, el cociente entre la longitud de su perímetro y su diámetro siempre es constante.  

Se trata, por tanto, de una propiedad intrínseca de la circunferencia, propiedad que permite hacer cálculos, transformaciones y un sin fin de cosas más.

Su definición es muy sencilla. Los antiguos observaron que entre la longitud de la circunferencia y su diámetro existía una cierta relación. Veamos:

Si llamamos L a la longitud de la circunferencia. Y D a su diámetro, siempre se cumplirá la relación L/D = Constante, cualquiera que sea la circunferencia.

 

miportal2

 

Así aparece en Egipto en el llamado Papiro Ahmes en honor del escriba que lo copió, también conocido por papiro Rhind por referirse a Henry Rhind, anticuario escocés, quien lo compró en 1858. Tal papiro de 20 cm. de alto y casi 6 metros de largo, en escritura hierática, no jeroglífica, costó su tiempo desentrañarlo. En él aparecen un conjunto de problemas entre los cuales reseño, para nuestro propósito, uno geométrico que dice: el área de un círculo es igual a la de un cuadrado cuyo lado sea inferior a 1/9 de su diámetro. Ver figura.

 

miportal3

 

Si el lado es inferior a 1/9 de su diámetro, significa que es igual a los 8/9 de su diámetro o lo que es lo mismo 16/9 de su radio. Ver figura.

Como el área del cuadrado se calcula elevando al cuadrado su lado, tendríamos:

A= (16/9r)2 = 256/81r2

Valor de π para  los egipcios: 256/81

256/81 = 3,16049...

Valor bastante aproximado de  π.

En la Biblia, también se hace referencia al número π, aunque indirectamente. Así en Reyes 7, 23, dice: “Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo. Tenía cinco codos de altura y a su alrededor un cordón de treinta codos".

Una cita similar se puede encontrar en II Crónicas 4, 2: “También hizo un mar de fundición, el cual tenía diez codos de un borde al otro, enteramente redondo; su altura era de cinco codos, y un cordón de treinta codos de largo lo ceñía alrededor”.

Como puede apreciarse en las dos citas, el valor de π es 3, menos aproximado que el egipcio.

Un problema que ha consumido horas y horas a los matemáticos de todos los tiempos ha sido el de la:

Cuadratura del círculo

¿Qué es esto de la cuadratura del círculo?

Algo tan simple como encontrar un cuadrado equivalente al círculo. Equivalente significa con la misma superficie. Algo parecido a lo hecho en el papiro de Ahmes, pero con exactitud. Ver figura.

Recuerden: el valor aproximado de π  en el papiro de Ahmes es 256/81. No me pregunten ni quien ni cómo llegó a esa conclusión porque no lo sé. Sin embargo se trata de una auténtica genialidad.

Para que eso sea posible es necesario que π sea racional. Esto quiere decir que π se pueda expresar como una fracción, por un quebrado que podemos expresar así: π = m/n.

El cociente de dos números racionales es otro racional, con valor exacto o valor periódico. 

El número de cifras decimales de π, es infinito. Su irracionalidad se manifiesta al comprobar que, ninguno de los diez dígitos de nuestro sistema de numeración, ni aislados ni agrupados, se repiten periódicamente.

No es cuestión de entrar en todo el proceso histórico del número π, tan solo señalar que con los modernos ordenadores, con gran potencia de cálculo, se obtienen billones de cifras decimales. Para los fabricantes de ordenadores es un reto, convertido en publicidad de la solidez de sus máquinas. El valor aproximado de π no se mide, ahora, por el número de cifras decimales encontradas, sino por las horas que la máquina está funcionando con un programa adecuado para ir aproximando cada vez más el número π.

Retomando el asunto, π expresa, numéricamente, el cociente entre el perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro, de esta forma: π = l/d.

Esto es: cualquiera que sea la circunferencia, el cociente entre la longitud de su perímetro y su diámetro siempre es constante  e igual a π.

Como puede apreciarse, se trata de una propiedad intrínseca de la circunferencia, propiedad que permite hacer cálculos, transformaciones y un sin fin de cosas más.

Unidad imaginaria

Dicho lo necesario de π, volvamos de nuevo a la fórmula:

e2πi = 1.

En ella nos encontramos el otro símbolo  “i”. Se trata de la unidad imaginaria que no quiere decir que es producto de la imaginación calenturienta  de los matemáticos, no, sino que es distinta de la unidad real, el 1.

Y ¿Cómo se obtiene la unidad imaginaria “i”?

Verán: Cuando los “gestores de la matemática” por llamarlos de una manera actual, se encuentran con alguna dificultad, la resuelven de forma simple: ampliando conceptos. Así con los números naturales.

Cuando se resta de un número mayor otro menor, no hay problema. Por ejemplo  tenemos cinco millones y tenemos que pagar dos, lo que nos queda, la diferencia, son tres millones. Sencillo:

Cinco millones – tres millones = dos millones

Numéricamente:

5.000.000 – 3.000.000 = 2.000.000 

Pero cuando es al revés, esto es: restar de un número menor otro mayor, en ese caso la operación es imposible, con dos millones no puedo pagar cinco. Con números:

2.000.000 – 5.000.000 = ¿?

¿Cómo se sale de la dificultad desde el punto de vista matemático?

Muy sencillo, se amplía el campo numérico, se introducen los números negativos creándose una nueva clase, los enteros, que agrupan a los números naturales positivos y negativos. con ese convenio la operación anterior quedaría de esta forma:

2.000.000 – 5.000.000 =  - 3.000.000

Algo semejante ocurre con los racionales que agrupan a los enteros y fraccionarios y los reales que se clasifican en racionales e irracionales.

Así llegamos a la dificultad de extraerle la raíz cuadrada a un número negativo, por ejemplo

-4

Sabemos que 4 es ±2 porque al elevar al cuadrado 2, 22 = 4 

al elevar al cuadrado -2, (-2)2 = 4.

De esta forma podemos resolver un sencillo problema ¿Cuanto medirá el lado de una habitación cuadrada de 4 metros cuadrados de superficie? La solución está en la ecuación anterior.

Ahora viene lo que en Matemáticas se conoce como discusión: Evidentemente dos números responden a la solución aritmética, +2 y -2 pero el lado de una habitación no puede ser negativo. Del resultado de ese razonamiento, discusión del problema, se llega a la conclusión:

El lado de la habitación es 2 metros.

Pero vayamos a la unidad imaginaria “i”. Señalábamos antes, la dificultad de extraerle la raíz cuadrada a un número negativo, por ejemplo -4. Aplicando alguna propiedad de los números, -4 la podemos expresar así:

-4 = 4-1 = 2-1.

Con el bagaje matemático que se tiene no se sabe que es -1.

Ya está: -1 = i, unidad imaginaria.

Resultando: -4 =  2i

Ampliamos el campo de los números reales con los números imaginarios cuya unidad la hemos representado por i = -1. Así se completa el “edificio” incorporando los llamados números complejos, números que acogen entre sus brazos a todos los que antes hemos mencionado.

Número “e”

Como han podido comprobar, de la fórmula e2πi = 1, henos hablado del 1, 2, “i” y π, nos falta decir algo de “e”.

Fijémonos en la base de la potencia de esta expresión: (1+1/n)n.

Si a “n” le vamos dando valores. 1, 2, 3, 4.... su valor es cada vez menor, pero comprendido entre 1 y 2;  en matemáticas se escribe de esta manera:

1 < (1+1/n) 2.

A "1" hay que sumarle una cantidad “1/n” cada vez más pequeña conforme aumenta el valor que le vamos atribuyendo a “n”. La base de esa potencia va siendo cada vez menor.

Sin embargo “n”, como exponente va aumentando cada vez más, indefinidamente. Y así nos encontramos con un valor decreciente comprendido entre 1 y 2, la base de la potencia, y un valor creciente, el exponente, cada vez mayor que en matemáticas se dice que tiende a infinito.

En teoría de límites se prueba que ese número variable mayor que 1 y menor o igual que 2 de valor decreciente, elevado a un número que tiende a infinito que hemos llamado “e”, cumple esta propiedad: 2 < e < 3.

Esto es: “e” ≈ 2,718281828.... número con infinitas cifras decimales, irracional como π.

Si a “n” le vamos dando valores que se recogen en la tabla:

n

1+1/n

Valores de (1+1/n)n

1

2

2

2

1,5

1,52 = 2,25

3

1,333

1,3333 = 2,370370

4

1,25

1,254 =2,441406

5

1,2

1,25 = 2,488320

.....

 

.....

µ

1

e = 2,718281828

 

Nos resulta “e” ≈ 2,718281828.....

He ahí la magia que he señalado.

Los números de la fórmula e2πi = 1, definidos cada uno por un lado, en tiempos  distintos, manejados por personas diversas, resulta que se reúnen en una sencilla y cómoda fórmula matemática. No es de extrañar que, con otras semejantes, se  bautizaran como “Fórmulas mágicas”. 

Otras curiosidades matemáticas: 

Hace días me encontré con un antiguo alumno, de los primeros tiempos y me dijo que aún recuerda aquella mañana cuando empecé la clase diciéndoles: Para que veáis que las matemáticas también se equivocan, os voy a demostrar que  4 = 5. 

A renglón seguido expongo el desarrollo que sigue: 

Vamos a demostrar esta igualdad: 4 = 5 

Partimos de las identidades siguientes: 

16 – 36 = 25 - 45   

Como puede comprobarse las diferencias de ambos miembros es - 20. 

Aplicamos la propiedad: Si sumamos a los dos miembros de la igualdad un mismo número, la igualdad, subsiste. Sumamos 81/4 resultando:

16 – 36 + 81/4= 25 – 45 + 81/4 

Ambos miembros se pueden escribir así:

(4 – 9/2)2 = (5 – 9/2)2 (1)    

En efecto: La fórmula del cuadrado de un binomio nos dice que se obtiene de la siguiente manera: Cuadrado del primero esto es 42 = 16. Más cuadrado del segundo: (9/2)2   = 81/4. Menos el doble producto del 1º por el 2º  - 2.4.9/2 = - 36 . De forma análoga se comprueba el 2º miembro, esto es: 

(5 – 9/2)2 = 25 – 45 + 81/4  

Si extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad (1) resulta:

      _________        ________

    √(4 – 9/2)2  =  √(5 – 9/2)2

 

Simplificando cuadrado y raíces cuadradas tendremos:

4 – 9/2 = 5 – 9/2 

Eliminando -9/2 en ambos miembros resulta:     4 = 5   c.s.q.d.

 

El proceso aplica propiedades matemáticas. Es así que la igualdad no es cierta ¿Qué se ha hecho mal? 

Observación de ayuda para descubrir el error: Si en la expresión

4 – 9/2 = 5 – 9/2  hacemos operaciones resulta otra igualdad misteriosa     - 1/2= 1/2  

Después de esto, pensé que la pseudo demostración puede generalizarse, algo que entonces no se me ocurrió. En efecto: La expresión (1) expresa la resta a dos números consecutivos de un determinado valor; por tanto, se puede generalizar así:  (a – b)2 = [(a +1) - b]2    (2)  

Aplicando la fórmula del cuadrado del binomio en los dos miembros de (2) obtenemos:

a2 -2ab + b2 = (a +1)2 - 2(a+1)b + b2  = a2 + 2a +1 - 2ab - 2b + b2  

Simplificando tendremos  0 = 2a + 1 - 2b  de donde  2b = 2a +1 despejando:

                                        b = a + 1/2

Cualquier par de valores a y b que cumpla la ecuación anterior permitirá "demostrar" la igualdad de dos números naturales consecutivos. El caso particular expuesto cumple la ecuación. En efecto: si

a = 4 el siguiente es 5 y el número que hay que sumar b = 4 + 1/2 = 9/2. 

Si la generalización se pretende para dos números naturales cualesquiera el proceso a seguir sería el siguiente:  (a – b)2 = [(a +c) - b]2 (3)   

Aplicando la fórmula del cuadrado del binomio en los dos miembros de (3) obtenemos:

a2 -2ab + b2 = (a + c)2 - 2(a+c)b + b2  = a2 + 2ac + c2 - 2ab - 2bc + b2 

Simplificando tendremos  0 = 2ac + c2 - 2bc  de donde  2bc = 2ac + c2 Simplificando al dividir por c, resulta: 2b = 2a + c    y  despejando:   b = a + c/2

Cualquier terna de valores a, b y c que cumpla la ecuación anterior permitirá "demostrar" la igualdad de dos números naturales cualesquiera. El caso particular expuesto cumple la ecuación.

En efecto: si a = 4; c= 1, el número que hay que sumar b = 4 + 1/2 = 9/2.

Razones: Algún lector curioso podría preguntarse a qué se debe la exposición en clase de lo que antecede. La razón es sencilla: La raíz de un número tiene tantas raíces como valor indique el exponente. Así, en la raíz cuadrada son dos los números que elevados al cuadrado reproducen el radicando. De la misma manera un polinomio P(x) tiene tantas raíces, valores que lo anulan, como unidades indique el exponente. Así la ecuación de segundo grado tiene dos raíces, de ahí que en la fórmula haya de poner el ±.

Es frecuente que  a los alumnos no les diga nada esa propiedad y se olviden de ello. Quizá fuera esa la razón por la cual quise llamar su atención y tengan en cuenta que el rigor es imprescindible en la matemática y que las propiedades hay que aplicarlas con pulcritud. Al extraer la raíz cuadrada a (1), intencionadamente, me "olvidé" del ±, "demostrando" lo falso.

Vamos a ver donde puede estar el error. Más arriba hemos escrito:

Si en la expresión  4 – 9/2 = 5 – 9/2  hacemos operaciones resulta otra igualdad misteriosa: 

- 1/2= 1/2.  Que es falsa pero no lo es si lo elevamos al cuadrado.

Así:  (- 1/2)2 = (1/2)2 

En efecto: elevando al cuadrado resulta: (-1/2)(-1/2) =(1/2)(1/2).

Esto es 1/4 = 1/4.

Al extraerle la raíz cuadrada se hace trampa. En el primer miembro tomamos la raíz negativa y en el segundo la positiva ¿Cómo debimos operar? Así: 

Si extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad (1) resulta:

  ±√(4 – 9/2)2 =±√(5 – 9/2)2

Ahora procede la discusión del problema. Si tomamos la raíz positiva en ambos miembros resultaría: (4 – 9/2) = (5 – 9/2); por lo que - 1/2 = 1/2 como no puede ser, se rechaza la solución. Este error en la aplicación de la propiedad ha posibilitado la demostración falaz.

Tomando la positiva en el 1º y la negativa en el 2º resulta: 4 - 9/2 = - 5 + 9/2 por lo que -1/2 = -1/2. La aplicación correcta de la propiedad desenmascara la demostración falaz.

Tomando la negativa en el 1º y la positiva en el 2º resulta: -(4 - 9/2) = (5-9/2) por lo que 1/2 = 1/2. La aplicación correcta de la propiedad desenmascara la demostración falaz.  

Tomando la negativa en el 1º y la negativa en el 2º resulta:- 4 + 9/2 = - 5 + 9/2 por lo que

1/2 = -1/2. Como no puede ser, se rechaza la solución. Este error en la aplicación de la propiedad posibilita la demostración falaz. Suprimiendo términos iguales en ambos miembros nos conduciría a otra falacia: - 4 = - 5   

Conclusión: Las matemáticas no se equivocan son los farsantes haciendo trampas que engañan al iluso. Así, en tantas cosas.

Consideraciones finales:

Las matemáticas resuelven infinidad de problemas además de auxiliar, eficazmente, a otras ciencias y a las que no puede auxiliar su conocimiento, es más oscuro.

Además resuelve cuestiones no regidas por la utilidad.

Sea por ejemplo esta cuestión[1]:

¿Habrá en España dos personas con el mismo número de cabellos?

Un simple razonamiento y un sencillo cálculo nos puede dar la respuesta. En efecto: Supongamos que en España hay 45 millones de habitantes. Si no hay dos personas con el mismo número de cabellos habrá, al menos, una, con más de 45 millones de cabellos. Si un cabello tiene 0,4 mm. de espesor, supuesto cilíndrico, el número de cabellos por mm2 sería 6 como máximo. La superficie necesaria mínima, supuesta toda la cabeza llena para alojar todos esos cabellos, sin intersticios sería: 7,5 m2. Es así que no hay cabeza humana con esa superficie de cabeza, luego hay que concluir que tiene que haber en España, al menos, dos personas con el mismo número de cabellos.

Con lo expuesto he intentado trasmitirles el por qué he hecho figurar, en lugar privilegiado de mi Web, la fórmula mágica de Euler:

Me gustaría discurrir por la sección áurea llamada también divina proporción, número áureo, y un sin fin de denominaciones más. En ella se inspiraron los clásicos griegos en sus construcciones de manera que sus formas se rigen por la razón áurea. Ejemplo: Las tarjetas de visita, el DNI, las tarjetas de crédito. En el mundo clásico tenemos el Partenón, las cariátides, de Atenas. En el renacimiento: Miguel Ángel con sus figuras, Leonardo da Vinci en su  Gioconda y un larguísimo etcétera.

También podríamos hablar de la sucesión de Fibonacci y su relación con el número áureo y así explicar como la naturaleza habla el lenguaje de las matemáticas. Las ramas de los árboles desde que nacen se distribuyen según la sucesión de Fibonacci para acaparar, cada una, la mayor cantidad de luz del sol. Así queda tema para seguir discurriendo por este apasionante mundo que tantas satisfacciones ofrece a quien tiene la suerte de deslumbrarse penetrando en sus intersticios.

Internet es una herramienta de incalculable valor. En él pueden encontrar abundante información divulgativa de las matemáticas, en la que sobresale con luz propia, mi Web que recomiendo vivamente y si alguien desea alguna aclaración en ella está mi correo y un servidor que  les atenderá con el mismo fervor con que he tenido el gusto de dirigirme a Vdes. a quienes agradezco, vivamente, la atención prestada.

En otra ocasión volveremos a  temas como los ya citados. Gracias por llegar hasta aquí.


[1] Tomado de “Curso de Geometría Métrica” Puig Adam, Madrid 1956

 

 

INICIO

PORTAL

ÍNDICE

 

email: marodgar@telefonica.net


 

q